2009年三省聯(lián)考中出現(xiàn)了這樣一道試題：

【例1】由1、2、3組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)之和為多少？（ ）

          A.1222    B.1232

          C.1322    D.1332

        對(duì)于本題，通常有以下三種解法：

解1：由這三個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有123、132、312、321、213、231六個(gè)，簡(jiǎn)單相加可知答案為1332，因此本題應(yīng)選擇D。

解2：由這樣3個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)總共有個(gè)，由于3個(gè)數(shù)字的地位是完全相同的，所以這3個(gè)數(shù)字在各個(gè)位數(shù)上出現(xiàn)的次數(shù)相同，也即在各個(gè)位數(shù)上出現(xiàn)6÷3=2次。因此在各個(gè)位數(shù)上，這6個(gè)數(shù)的加和為(1+2+3)×2=12，因此這6個(gè)數(shù)的和為12×(100+10+1)=12×111=1332。因此本題應(yīng)選擇D。

解3：因?yàn)?+2+3=6為“3”的倍數(shù)，所以由1、2、3組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的任意三位數(shù)也能夠被3整除，因此其和也能被3整除，備選項(xiàng)中只有D能被3整除，因此本題應(yīng)選擇D。

       以上三種解法中，解1最平凡，操作起來(lái)也最繁瑣，尤其當(dāng)數(shù)字較多時(shí)，就很難進(jìn)行下去；解2的操作具有可推廣性，計(jì)算量小，技巧性也較強(qiáng)，但是思維過(guò)程顯得有些“繞”，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生不易掌握；解法3巧用數(shù)字特性，解題快捷簡(jiǎn)便，利于學(xué)生掌握，但是卻存在一點(diǎn)不足，就是四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)或兩個(gè)以上的備選項(xiàng)對(duì)于3同余的情況很容易出現(xiàn)，這時(shí)就不能唯一確定答案了。

      針對(duì)解2和解3中存在的缺陷，我們加以彌補(bǔ)，便可得到下面兩種新的解法：

解4：由解2的操作過(guò)程我們可以輕松推導(dǎo)出這樣的結(jié)論，即由n個(gè)（不同的）非零一位數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的所有n位數(shù)之和是(n個(gè)1)的倍數(shù)。所以例1中的求和結(jié)果必為111的倍數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證只有選項(xiàng)D滿足要求，因此選擇D選項(xiàng)。

      解4的方法利用從解2方法中得出的一個(gè)結(jié)論，巧用數(shù)字特性解題，思維簡(jiǎn)單機(jī)械，容易記憶掌握，而(n個(gè)1)與3不同，備選項(xiàng)中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的選項(xiàng)能被(n個(gè)1)整除的可能性較低，但該方法也并非盡善盡美，因?yàn)榕袛嘁粋€(gè)數(shù)是否為(n個(gè)1)的倍數(shù)并沒(méi)有簡(jiǎn)便的方法，需要直接作除法驗(yàn)證。于是，我們?cè)诮?的基礎(chǔ)上，得到下面的解法5——余9法。

解5：因?yàn)?+2+3=6，所以由1、2、3組成的沒(méi)有重復(fù)的任意三位數(shù)除以9的余數(shù)為6，而由這樣3個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)總共有個(gè)，每一個(gè)除以9余6，因此其和除以9余6×6=36，又36÷9=4，因此其和也為9的倍數(shù)，選項(xiàng)中只有D滿足，因此選擇D選項(xiàng)。

      解5結(jié)合了解2中的計(jì)數(shù)思想與解3中的數(shù)字特性思想，并利用計(jì)算問(wèn)題中常使用的余9法，解題過(guò)程簡(jiǎn)單快捷，容易掌握，且9與3不同，備選項(xiàng)中出現(xiàn)兩個(gè)或以上的選項(xiàng)關(guān)于9同余的可能性也很小，因此該方法可操作性也很強(qiáng)，個(gè)人認(rèn)為，解法5是解決此類多位數(shù)問(wèn)題的最佳方法！

      最后，我們用解5作答下面一道類似的題目，該題來(lái)源于模塊寶典157頁(yè)的例16。

【例2】由3、4、6、7、9組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的所有五位數(shù)之和為多少？（ ）

         A.7733256     B.15466512

         C.23199768    D.38666280

[答案]A

[解析]因?yàn)椋杂蛇@樣5個(gè)數(shù)字組成的任意五位數(shù)除以9余2，而這樣五個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)一共有個(gè)，所以其和除以9的余數(shù)為，利用棄9法不難判斷四個(gè)選項(xiàng)中只有A除以9余6，因此本題選A。

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