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河北公務員行測指導：中國剩余定理在數(shù)學運算中的運用
http://fuhis.cn 2012-09-14 來源：河北公務員考試網(wǎng)
一、中國剩余定理的由來
我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個問題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何。”用
現(xiàn)在的話來說就是：“有一批物品，3個3個地數(shù)余2個，5個5個地數(shù)余3個，7個7個地數(shù)余2個，問這批物品最少有多少個?” 這個問題的解題思
路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。
二、“中國剩余定理”算理及其應用
明朝數(shù)學家程大位把這一解法編成四句歌訣：
三人同行七十（70）稀，
五樹梅花廿一（21）枝，
七子團圓正月半（15），
除百零五（105）便得知。
歌訣中每一句話都是一步解法：第一句指除以3的余數(shù)用70去乘；第二句指除以5的余數(shù)用21去乘；第三句指除以7的余數(shù)用15去乘；第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105，就減去105的倍數(shù)，就得到答案了。即：
70×2＋21×3＋15×2－105×2=23
為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。（任何一個
一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)
，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。
三、“中國剩余定理”的應用
主要是是針對那些我們學的口訣“公倍數(shù)做周期：余同取余，和同加和，差同減差”以外的余數(shù)問題的題目。
【例1】一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？
A．81 B．34 C．128 D．103
【答案】B
【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
為了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。所以選擇B選項。
【例2】一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？
A．53 B．34 C．128 D．73
【答案】A
【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
為了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。所以選擇A選項。
【例3】一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。
A．24 B．46 C．299 D．73
【答案】C
【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因為，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數(shù)。所以選擇C選項。
【例4】有一個年級的同學，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人 ？
A．95 B．116 C．99 D．302
【答案】D
【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因為，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的數(shù)。所以選擇D選項。
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